Aumento de la zona de estabilidad del haz en fuentes de luz de sincrotrón utilizando cuasi polinomios

Scientific Reports volumen 13, número de artículo: 1335 (2023) Citar este artículo

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El objetivo de este artículo es proponer un esquema para aumentar la zona de estabilidad de un haz de partículas cargadas en sincrotrones utilizando una función objetivo adecuada que, cuando se optimiza, inhibe la aparición de resonancias en el espacio de fase y la apertura dinámica de los electrones en los anillos de almacenamiento. mejorado. La técnica propuesta se implementa mediante la construcción de un cuasi-invariante en una vecindad del origen del espacio de fase, luego, mediante el uso de software de computación simbólica, se obtienen conjuntos de ecuaciones diferenciales acopladas para funciones involucradas en dinámica no lineal y se resuelven numéricamente con condiciones de frontera periódicas. . La función objetivo se construye proponiendo que la rama de solución de momento más interna del polinomio cuasi-invariante se aproxima a la elipse correspondiente de la dinámica lineal. La función del objetivo se optimiza mediante un algoritmo genético, lo que permite aumentar la apertura dinámica. La calidad de los resultados obtenidos con este esquema se compara con simulaciones de seguimiento de partículas realizadas con el software disponible en el campo, lo que muestra una buena concordancia. El esquema se aplica a un modelo de fuente de luz sincrotrón que puede clasificarse como de tercera generación debido a su emitancia.

Hoy en día, el diseño de anillos de almacenamiento de fuentes de luz de sincrotrón es un gran desafío, principalmente porque la apertura dinámica se reduce por las propiedades no lineales de la red. En la primera etapa del diseño, se utilizan dipolos y cuadrupolos magnéticos para generar una red acromática lineal1 con una emitancia determinada. El segundo paso implica la introducción de sextupolos magnéticos y, si es necesario, octupolos, que transforman la dinámica de lineal a no lineal, generando nuevos fenómenos que, si no se controlan, son fuentes de inestabilidad del haz de electrones. En tal caso, el brillo de la radiación sincrotrón podría degradarse afectando los experimentos en curso de investigación científica tecnológica, básica y aplicada2.

Cuando se utiliza una fuente de luz de sincrotrón, puede haber varios cientos de haces de electrones distribuidos a lo largo del anillo. Los haces viajan dentro de un tubo de metal en condiciones de muy alto vacío, minimizando las colisiones con las moléculas de gas. El tubo pasa por el centro de todos los imanes. Los haces de electrones deben estabilizarse interactuando con fuerzas magnéticas, proporcionadas por varios multipolos magnéticos. En funcionamiento, dicha estabilidad debe garantizarse durante varias horas.

Al buscar un buen diseño, es necesario optimizar las diferentes longitudes de todos los imanes, sus intensidades de campo (estas últimas se describen mediante las funciones \(b_1(s)\), \(b_2(s)\), y \ (b_3(s)\) que son funciones constantes por partes, como se muestra en la Fig. 1), así como las longitudes de los espacios libres entre ellas, los llamados espacios de deriva. Generalmente, este proceso le da al anillo una estructura física basada en una disposición periódica de celdas magnéticas, como se indica en la Fig. 2. El proceso busca una disposición de estos imanes para permitir que los electrones describan trayectorias estables, viajando a velocidades cercanas a la velocidad de luz.

En la continua búsqueda de reducir la emitancia de nuevos sincrotrones, se requiere el uso de cuadrupolos magnéticos cada vez más intensos, dando lugar a efectos cromáticos más notorios. Para corregir estos efectos se requiere el uso de sextupolos magnéticos (cromáticos) de alta intensidad y multipolos de orden superior. Se añade un tipo diferente de sextupolos, llamado geométrico, para corregir los efectos indeseables producidos por los sextupolos cromáticos para mejorar la apertura dinámica. Cuanto más intensos sean los sextupolos y los multipolos de orden superior, más difícil será mantener bajo control la estabilidad dinámica. En este nivel, el problema a resolver en el proceso de diseño es ajustar las familias de sextupolos para maximizar simultáneamente tanto la apertura dinámica como la apertura de momento. Además, la complejidad aumenta si se incluyen otro tipo de variables importantes en la optimización3. En última instancia, los diseños de anillos deben ser robustos ante la presencia de no linealidades, intencionadas como sextupolos, o no intencionadas, como errores e imperfecciones en el campo de los imanes. El método convencional para realizar estos ajustes es minimizar muchos términos resonantes4,5. Estos resultados luego se validan con una simulación de seguimiento de partículas6,7. Además, es común utilizar herramientas complementarias como el análisis de mapas de frecuencia8 para tener una mejor imagen de las estructuras de resonancia y difusión de la melodía. Otros métodos de optimización eficaces, muy exigentes en recursos computacionales9, calculan directamente la apertura dinámica mediante seguimiento de partículas10,11,12,13, incluyendo el cálculo de términos resonantes si fuera necesario14. Los sistemas no lineales de gran complejidad en sus procedimientos de resolución analítica llevaron a algunos autores a analizar y desarrollar métodos novedosos para tratarlos numéricamente12,13. Algunos de esos métodos se basan en procedimientos descriptivos de alta precisión6,7. Además, la necesidad de disponer de máquinas con mejores prestaciones ha motivado a los investigadores a proponer nuevas soluciones como los aceleradores integrables15,16,17, donde los campos magnéticos se modulan de tal forma que se consiguen integrales de movimiento.

También se ha sugerido que los invariantes promediados podrían ser útiles para analizar la dinámica totalmente acoplada en una única oscilación de sincrotrón18. También hay propuestas para el uso de invariantes aproximados (o cuasi-invariantes)19,20,21,22, para avanzar en la comprensión de la dinámica no lineal en sincrotrones. Algunas de estas propuestas utilizan el seguimiento de partículas para hacer que el sistema sea aproximadamente integrable20.

Otra forma propuesta de introducir invariantes aproximadas23,24,25, centrándose en describir el espacio de fase de sincrotrones de fácil diseño (como un propulsor), parece apropiada para describir las resonancias que aparecen en el espacio de fase transversal de los sincrotrones. Estas ideas no habían sido ampliamente exploradas hasta hace poco, cuando una extensión de este formalismo a un polinomio de quinto grado se aplicó a un polinomio de tercero. fuente de luz de generación26. Nuestro objetivo es dar un paso adelante respecto a lo presentado en las referencias23,24,25,26, proporcionando contenidos y conceptos que puedan ser útiles para comprender los procesos no lineales en sincrotrones y mejorar el rendimiento del diseño de sincrotrones. Ahora este formalismo se emplea para desarrollar un algoritmo para la exploración y manipulación del espacio de fase de estos sistemas, enfocado a aumentar la apertura dinámica de sincrotrones dinámicamente más complejos. En este artículo, se propone una función objetivo y un esquema de optimización basado en ella para maximizar la apertura dinámica de una fuente de luz de sincrotrón. Aunque la optimización de la apertura dinámica de estos sistemas utilizando cuasi-invariantes ha sido abordada anteriormente20, el presente trabajo tiene un enfoque y una metodología diferentes. Mientras que la Ref.20 utiliza el seguimiento de partículas para hacer que el sistema sea cuasi integrable, el presente trabajo propone la búsqueda de una zona de estabilidad acotada utilizando una función objetivo, obligando al espacio de fase del sistema no lineal a parecerse al lineal. Esto se basa en la determinación de las raíces de un polinomio cuasi-invariante, sin utilizar seguimiento de partículas ni considerar los términos resonantes. Hasta donde sabemos, este enfoque no se ha utilizado antes. Además, esta propuesta tiene la ventaja de considerar localmente, en un orden de aproximación determinado, la posibilidad de inhibir la aparición de resonancia. Se demostrará que se obtienen resultados sólidos a medida que aumenta la amplitud de las oscilaciones y se considera la dispersión del momento. De esta manera, se demuestra que el método propuesto basado en cuasi-invariantes puede ser una herramienta útil para aumentar la apertura dinámica del haz de electrones en una fuente de luz de sincrotrón. Los métodos de seguimiento de partículas (como el utilizado por OPA) se utilizaron en el presente trabajo sólo con fines comparativos, mostrando una buena concordancia con los resultados obtenidos. En este trabajo se ha tratado un problema unidimensional, pero se puede extender fácilmente a 2D. Este método proporciona una estrategia diferente para abordar el problema de optimizar la dinámica de estos sistemas y facilitar el diseño de nuevas fuentes de luz sincrotrón de última generación.

Las referencias23,24,25 describen un método para extender la estructura teórica lineal al caso no lineal en el estudio de la dinámica del sincrotrón. Allí se propone la existencia de funciones no lineales que juegan un papel similar al de las funciones \( \alpha \), \( \beta \) y \( \gamma \) utilizadas en el caso lineal27. Con estas funciones no lineales se pueden establecer cuasi-invariantes, con validez en un rango local de espacio de fase.

El interés en el formalismo cuasi-invariantes continúa18 porque podría ayudar en el diseño de aceleradores de partículas modernos,28,29, donde los efectos de la dinámica no lineal son cada vez más importantes, agregando complejidad a la implementación de cada diseño. Reducir estos efectos puede contribuir a disponer de fuentes de luz con emitancias que proporcionen mejor calidad y propiedades de la luz emitida, mejoras que son de gran utilidad en técnicas experimentales de vanguardia en diversas áreas de la ciencia.

Dado que hay 3 variables físicas en la dinámica de sincrotrón, el espacio de fase de este sistema es de 6 dimensiones. De ahí que, en el largo plazo, nuestro objetivo sea abordar una estructura más compleja que la aquí presentada. Sin embargo, construir una formulación más general para abordar esta complejidad no es trivial, por lo que es muy importante avanzar con pasos pequeños pero firmes. De esta forma, una aproximación unidimensional es muy útil para una comprensión profunda de los problemas dinámicos de aceleradores en dimensiones inferiores. Se pueden encontrar enfoques similares en las referencias30,31,32.

Siguiendo la estructura de un trabajo anterior26, y para completar este trabajo, se puede considerar un movimiento lineal unidimensional donde el hamiltoniano tiene la forma

donde (\(x,p_x\)) son variables conjugadas canónicas, \( K (s) = K (s + c) \) es una función periódica de s, con período c, y representa la intensidad de los cuadrupolos magnéticos de el anillo de almacenamiento. La función constante roja por partes en la Fig. 1 está relacionada con la función K(s). Este sistema tiene la invariante

donde \( \alpha _x(s)\), \( \beta _x(s) \) y \( \gamma _x(s)\) son las funciones periódicas de Courant-Snyder, también con período c27.

Como muestra la referencia 23, la descripción anterior se puede extender al caso no lineal unidimensional descrito por el hamiltoniano

En la referencia23, se propone que este sistema tenga una invariante aproximada de la forma

donde \(A^{(0)}(s)=A^{(0)}(s+c)\) son funciones periódicas, que deben satisfacer ecuaciones diferenciales impuestas por la condición invariante

y puede verse como una generalización de las funciones lineales de Courant-Snyder \(\alpha _x\), \(\beta _x\) y \(\gamma _x\), para el régimen no lineal. Por lo tanto, el invariante aproximado propuesto en la ecuación. (4) es una generalización del invariante lineal de Courant-Snyder de la ecuación. (2). Esta idea ha sido propuesta en referencias23,25 para tratar los efectos cromáticos en estos sistemas, es decir, teniendo en cuenta la posibilidad de que las partículas tengan un momento p diferente al momento de diseño \(p_0\). Se ha demostrado que cuando se incluyen los efectos cromáticos de esta manera, los resultados obtenidos concuerdan bastante con los obtenidos mediante simulaciones utilizando soluciones numéricas de las ecuaciones de Hamilton.

El sistema lineal (1) es relevante ya que se comprende bien su invariante (2); por tanto, es posible comparar la estructura del espacio de fases del sistema no lineal con respecto al caso lineal utilizando una extensión de la expresión (2). Además, esta representación podría usarse para desarrollar herramientas semianalíticas que puedan ser útiles en el régimen no lineal abordado en el proceso de diseño del acelerador.

Esta extensión también permite la introducción de efectos cromáticos en el marco analítico, sugiriendo su utilidad como complemento dentro del análisis de sistemas hamiltonianos, como se discutirá más adelante.

El enfoque para estudiar la dinámica electrónica en estos sistemas suele consistir en transformar el conocido hamiltoniano relativista de una partícula cargada en un campo electromagnético, expresado originalmente en el sistema de laboratorio, en un sistema de referencia en movimiento. Tras este cambio de coordenadas se realiza una transformación de variables permitiendo que la coordenada longitudinal s sea la variable independiente en lugar del tiempo t. A partir del hamiltoniano resultante, se pueden obtener las ecuaciones de movimiento; Estos cálculos son estándar y sus detalles se pueden ver en la referencia4. En determinadas circunstancias el movimiento longitudinal (s, \(p_s\)) se puede desacoplar del movimiento transversal (x, \(p_x\), y, \(p_y\)), e incluso es posible desacoplar el movimiento transversal en movimientos horizontales (x, \(p_x\)) y verticales (y, \(p_y\)).

Usemos una expresión más general del hamiltoniano que aparece en la ecuación. (3). Siguiendo la notación de referencias4,33, un hamiltoniano de la forma

describe la dinámica transversal de partículas en un sincrotrón. Este hamiltoniano ha sido ampliamente utilizado en estudios preliminares de apertura dinámica4,34,35, en la primera etapa del diseño del anillo de almacenamiento.

Las funciones \( b_1 (s)\), \( b_2 (s)\) y \( b_3 (s)\) son funciones periódicas con comportamiento constante por partes, que describen respectivamente la curvatura de los dipolos y las intensidades de los cuadrupolos y sextupolos del acelerador y \(\delta = \Delta p / p_0\), donde \( \Delta p \) es la desviación del impulso con respecto al impulso de diseño \(p_0\). \(b_1(s) = 1 / \rho \) (\(\rho \) es el radio de curvatura de un dipolo particular) y los parámetros restantes están dados por la siguiente expresión34

donde \( B\rho \) es la rigidez magnética que conecta el campo magnético y el radio de curvatura con la energía de un electrón relativista vía \(B\rho [Tm] = 3.3356\, E[GeV]\). Además, si R es el radio inscrito en el polo, \(b_n\) está relacionado con el campo magnético de la punta del polo \(B_{pt}\) (Fig. 1) mediante la ecuación

eso es muy útil para determinar campos para el diseño de imanes.

En las referencias 24 y 25 se ha propuesto que un cuasiinvariante de la forma

puede asociarse con este hamiltoniano (ecuación (6)). Aquí, las funciones cromáticas no lineales (\( n \ge 1 \)) también son periódicas, es decir, \(A^{(n)}_{ijkl}(s)=A^{(n)}_{ijkl }(s+c)\). Cuando se calculan para una longitud de arco particular s, estas funciones adquieren valores numéricos.

La ecuación (9) representa una extensión no lineal de la invariante de Courant-Snyder, ecuación. (2); lo que significa que en segundo grado, el orden más bajo, sólo las funciones horizontales \(A^{(0)}_{ijkl}(s)\) son diferentes de cero. La sustitución de la ecuación. (9) en la expresión (5) conduce a un sistema de ecuaciones diferenciales lineales. El número de ecuaciones depende del grado del polinomio considerado. En este artículo consideramos un polinomio de quinto grado. Las sesenta ecuaciones diferenciales asociadas significativas correspondientes a funciones no nulas y no lineales relacionadas con partículas de momento (\(\delta = 0\)) se presentan a continuación en las ecuaciones. (10)–(18). Las ecuaciones. (10)-(12) ya han sido considerados en la referencia26.

Aunque en la Ref.26 se presentaron ecuaciones para las funciones no lineales \(A^{(1)}_{ijkl}(s)\) para \(\delta \ne 0\), eso se puede implementar para tratar -partículas de momento, solo hemos utilizado \(A^{(0)}_{ijkl}(s)\) (en momento) para investigar la idoneidad del enfoque propuesto para producir buenos resultados al optimizar la apertura dinámica. Se está llevando a cabo una extensión del análisis fuera de impulso.

Es posible incorporar el movimiento longitudinal en un hamiltoniano más general y volver a aplicar el protocolo cuasi-invariante en el espacio 6D, como se hace utilizando otros métodos (TPSA/seguimiento)36. Sin embargo, esto está más allá del alcance de este trabajo ya que el sistema 4D aún no se ha desarrollado.

Las ecuaciones diferenciales (10-18) para las funciones \(A's\) y las condiciones de periodicidad \(A(s+c) = A(s)\), impuestas por la red magnética considerada (la selección específica de multipolos magnéticos en el anillo), determine los valores de las funciones A(s) en un período, que suele ser una celda sincrotrón. El anillo sincrotrón consta de un conjunto de varias de estas células.

Nótese que las expresiones (10) reproducen las ecuaciones satisfechas por los parámetros de Courant-Snyder \(\alpha _x\), \(\beta _x\) y \(\gamma _x\), inherentes a la dinámica lineal; mientras que las ecuaciones. (11) y (12) son las ecuaciones de las primeras funciones no lineales no nulas en la expansión (Ec. (9)), que deben cumplirse para que se cumpla la condición invariante (Ec. (5)). El sistema de ecuaciones (11) solo involucra funciones asociadas con el movimiento horizontal x en el acelerador, mientras que las funciones del sistema de ecuaciones (12) acoplan los movimientos horizontal y vertical. En todos los sistemas de ecuaciones solo hay funciones \(A^{(0)}\), que describen partículas con momento. La manipulación algebraica para obtener estas ecuaciones se ha realizado con wxMaxima37.

Otro punto que merece atención es que el conjunto de funciones de la ecuación. (10): \(A^{(0)}_{2000}\), \(A^{(0)}_{1100}\) y \(A^{(0)}_{0200}\ ) son de esencial importancia. Los valores reales y acotados de estas funciones son posibles gracias a una selección adecuada de cuadrupolos en la red, mientras que el uso de valores inadecuados conduciría a la inestabilidad de la solución lineal. La existencia de valores distintos de cero de funciones de orden superior, como los que aparecen en las Ecs. (11) y (12), ocurre gracias a que las funciones antes mencionadas intervienen en la parte no homogénea de las ecuaciones, dándoles valores distintos de cero. De manera análoga, en aquellas ecuaciones que contienen funciones no lineales, aparece por primera vez la contribución sextupolar \(b_3(s)\). Si esta contribución fuera cero, las funciones contenidas en las Ecs. (11) y (12) deben ser cero, es decir, la ecuación casi invariante. (9) se reducirá al invariante de Courant-Snyder de la ecuación. (2).

La referencia 26 describe el procedimiento para determinar los sesenta valores de las funciones \(A^{(0)}(s)\), en \(s=0\), que aparecen en las ecuaciones. (10)–(18), sujeto a condiciones de frontera periódicas \(A^{(0)}_{ijkl}(0)=A^{(0)}_{ijkl}(0+c)\).

En este trabajo sólo se ha estudiado la cuasi-invariante asociada con el movimiento horizontal, ya que las amplitudes de oscilación en el plano horizontal son mayores que las del plano vertical; por lo tanto, la dinámica en el espacio de fase horizontal es más compleja que en el espacio de fase vertical.

Es bien sabido que los componentes magnéticos cuadrupolares (representados en general por \( b_2(s))\) contenidos en un acelerador afectan a las partículas sin momento (\( p_0 + \Delta p \)) de manera diferente a la partícula de referencia con impulso \(p_0\). Esto cambia el número de oscilaciones en los planos horizontal y vertical (melodías \(\nu _x\), \(\nu _y\)), desviándolas de las melodías originales \(\nu _{0x}\), \( \nu _{0y}\), de la siguiente manera

donde \(\xi _{x,y}\), las cromaticidades horizontal y vertical, están dadas por la expresión (20) tomando \(b_3(s)=0\).

En conjunto, las partículas tienen energías que difieren de la energía de diseño. Por tanto, los cuadrupolos del acelerador suministran a cada partícula una fuerza de enfoque que depende de su energía, originando un efecto cromático. Además, cualquier tipo de imperfección de campo en los cuadrupolos provocará el mismo efecto en los electrones que viajan en sus órbitas (ver Ref.38).

La estabilidad de las partículas fuera de momento requiere que \(\xi _x\) y \(\xi _y\) estén cerca de cero para mantener las melodías cerca del punto de operación, mientras que se requieren pequeños valores positivos para evitar resonancias colectivas. Para satisfacer estos requisitos, es necesario introducir sextupolos magnéticos \(b_3(s)\) en la red. Los sextupolos afectan las cromaticidades en la forma34,39,40,41,42

La función \(\beta _y(s)\) juega un papel similar para el movimiento vertical que \(\beta _x(s)\) para el caso horizontal, y C es la circunferencia del anillo de almacenamiento completo. \(\eta (s)\) se conoce como función de dispersión y cuantifica en qué medida la órbita cerrada de las partículas sin momento difiere de la órbita cerrada de las partículas con momento.

Las fuentes de luz de sincrotrón se clasifican en generaciones, según las propiedades de la luz emitida y los dispositivos utilizados para producirla. La complejidad de la dinámica de haces aumenta con cada generación, de modo que las nuevas instalaciones exigen mejores técnicas de optimización para un rendimiento superior. En este trabajo, se utiliza una red típica de tercera generación para estudiar algunos aspectos relevantes de nuestro método cuasi-invariante (ver también23,24,25), ya que nuestro principal objetivo es presentar sus ventajas.

El modelo de anillo de almacenamiento que se presenta a continuación fue, en algún momento, considerado un esquema de bajo riesgo para el proyecto mexicano43. Se basa en la red ALBA44 y debido a su valor de emitancia, 1,3 nm\(\cdot \)rad, puede considerarse como una fuente de luz de tercera generación. Sus funciones ópticas lineales se muestran en la Fig. 2 durante medio superperíodo. Las células DBA se muestran en la parte inferior de la figura, donde los dipolos, cuadrupolos y sextupolos se representan en azul, rojo y verde, respectivamente. El anillo completo tiene 4 superperíodos; cada superperíodo consta de seis celdas DBA: dos celdas coincidentes en los extremos y celdas de cuatro unidades en el medio. En la Fig. 1 se muestran con más detalle toda la celda coincidente y media celda unitaria, representando los campos magnéticos de cada imán, siguiendo el código de color de los imanes.

Se muestran los campos magnéticos de los primeros imanes en la Fig. 2. En la parte inferior de la figura, el conjunto de imanes de la izquierda, separados por espacios de deriva, corresponde a una celda coincidente. El conjunto de la derecha exhibe media celda unitaria. En la parte superior de la figura se muestran las intensidades de campo de los correspondientes dipolos (azul), cuadrupolos (rojo) y sextupolos (verde). Estos valores de campo están relacionados con los parámetros \(b_n\) mediante la Ec. (7).

Funciones ópticas de un medio superperíodo de la red tipo ALBA. Las funciones \(\beta _x(s)\) y \(\beta _y(s)\) están marcadas en azul y rojo, respectivamente; y en verde, la función de dispersión \( \eta (s)\). La parte inferior muestra la distribución de dipolos (azul), cuadrupolos (rojo) y sextupolos (verde) de las tres células DBA en un medio superperíodo. La línea de texto verde inferior muestra la asignación de los diferentes sextupolos. La otra mitad del superperíodo es simétrica con respecto al eje vertical. El anillo se compone de cuatro superperíodos.

Una vez fijados los campos magnéticos dipolo y cuadrupolo, se determinan las funciones ópticas del anillo de almacenamiento y los principales parámetros; estos últimos se muestran en la Tabla 1. Las cromaticidades naturales indican que las intensidades de los sextupolos no deben ser muy grandes, por lo tanto, al realizar correcciones de cromaticidad, los fenómenos no lineales indeseables deben ser mínimos. Utilizamos esta red simple para mostrar la capacidad del formalismo cuasi invariante para inhibir la aparición de resonancias y aumentar la apertura dinámica de los sincrotrones.

El mecanismo para encontrar las raíces del polinomio cuasi-invariante se describió en las referencias 23,26; sin embargo, para completar este trabajo, la metodología para encontrar los puntos (\(x,p_x\)) que pertenecen a un valor de la cuasi-invariante de la ecuación. (9), se describe a continuación. Para \(p_x=0\), la magnitud de la amplitud de oscilación inicial \(x_0\), se obtiene un valor numérico del cuasi-invariante a través de la expresión de Courant-Snyder como \(I=x_0^2/\gamma _x \); en nuestro caso (\(\alpha _x=0\) ya que \(s_0=0\) es un punto de simetría en la red). El valor numérico de I se mantiene para el caso no lineal y luego se calcula la deformación topológica del espacio de fases. Luego, escaneando x, para cada valor de x, se encuentran los 5 valores de \(p_x\) (raíces del polinomio de grado 5), los cuales pueden ser complejos por pares o reales, usando la función de búsqueda de raíces de \ (\hbox {MATLAB}^{\circledR}\). De esta forma, se obtiene un conjunto de puntos \((x,p_{x1}),...,(x,p_{x5})\) para un valor específico de la cuasi-invariante I. Trazando estos pares (\(x, p_x\)) en el espacio de fases, se obtiene una secuencia de puntos cercanos que visualmente parecen formar (interpolando) una curva continua. Estas secuencias formarán lo que hemos llamado rama.

Cuando un par de ramas se superponen, la zona de superposición contiene raíces complejas y las porciones que no se superponen formarán islas que indican la presencia de resonancias. Si no existe dicha superposición las resonancias no aparecerán, como se describe en la Ref.26. Se podría llevar a cabo un procedimiento similar escaneando \(p_x\) y encontrando los valores de las raíces x del polinomio cuasi invariante.

Una vez identificado el proceso de aparición de resonancias, nos interesa evitar la formación de resonancias mientras aumentamos la amplitud de oscilación. Con esto, el método puede proporcionar un mecanismo para aumentar la apertura dinámica del sincrotrón considerado. Se requiere un protocolo para manejar las raíces de manera controlada a medida que los elementos no lineales cambian mediante la optimización numérica de la función objetivo, ecuación. (21).

Una forma de hacerlo es separar las ramas de raíz reales que dan lugar a resonancias mientras se aumenta la amplitud de la oscilación horizontal. Esto se logra en gran medida exigiendo que las ramas más internas, que en principio forman la elipse deformada, tengan el mejor parecido con la elipse que surge cuando los elementos no lineales (sextupolos, octupolos, etc.) no están presentes en el cálculo, es decir, dinámica lineal. . Con este procedimiento, un espacio de fase no lineal se ve obligado a parecerse a uno lineal al encontrar soluciones casi integrables en un área limitada de pequeñas amplitudes.

Una forma sencilla de definir una función objetivo es cuantificar la separación entre las ramas de raíces reales correspondientes al problema no lineal {\(p_x^{nl}\}\) y las ramas de raíces reales correspondientes al problema lineal {\( p_x^{l}\}\); es decir, las ramas superior e inferior de una elipse que se obtienen para la partícula de referencia, cuando sólo se consideran dipolos y cuadrupolos. Si consideramos N puntos en el eje x, las raíces inferior y superior correspondientes están en forma abreviada, {\(p_x(x_i), i=1\cdot \cdot \cdot N\}\). Luego, las 2N distancias entre las ramas superiores (u) y las ramas inferiores (d) de los dos sistemas, lineal y no lineal, se suman para definir la función objetivo \(f_{obj}\) como

Minimizando \(f_{obj}\), buscaremos soluciones del problema no lineal que sean lo más cercanas posible al problema lineal. Como se mencionó anteriormente, el espacio de fase no lineal pretende parecerse al del caso lineal para amplitudes pequeñas.

La definición de \(f_{obj}\) en la ecuación. (21) se realiza para la partícula de referencia con momento activo, es decir, en \(\delta =0\), pero se puede ampliar para incluir términos correspondientes a partículas sin momento (\(\delta \ne 0\)) .

La función objetivo definida en la expresión (21) considera la suma de distancias punto a punto entre las trayectorias lineales y no lineales en el espacio de fase. Dado que estas distancias dependen de las funciones no lineales \(A^{0}(s)\), los términos que más deforman el espacio de fase serán los que más penalizarán. Al ser la única función que se pretende optimizar, no es necesaria la inclusión de pesos en el problema. Consideramos que esto es una fortaleza del algoritmo y el uso de la función objetivo de la ecuación. (21).

Definiendo \(S=b_3/3\), los parámetros libres a optimizar son

mientras que los sextupolos

se ajustan en cada cambio realizado en \(\{S\}_{free}\), mediante el algoritmo de optimización, para mantener las cromaticidades cercanas a cero, \(\xi _{x,y} \sim 0\ ).

Escribamos la unión de los conjuntos anteriores simplemente como

El conjunto inicial \(S_0\) proviene de los primeros intentos de confirmar que el método cuasi-invariante dio resultados confiables y compatibles con la simulación de seguimiento de partículas. Se utilizó en la Ref.26 y tiene los siguientes valores numéricos

La Figura 3 representa la fase horizontal correspondiente al conjunto inicial \(\{S_0\}\), mostrando las resonancias que surgen en una amplitud de oscilación de \(x_0=1.53\) mm.

Espacio de fase horizontal \((x,p_x)\) para el conjunto inicial de sextupolos \(\{S_0\}\) dado por la ecuación. (25). Las amplitudes utilizadas \(x_0\) son 0,5, 0,75, 1,0, 1,25, 1,45, 1,53 mm. Sólo se representan resonancias representativas y toros internos. Las unidades en la gráfica son m-rad.

La ubicación de estos sextupolos en la celda unitaria del modelo de juguete sincrotrón considerado aquí se puede ver en la Fig. 2, en verde.

Los valores libres iniciales de \(\{S_0\}\) pueden, en general, seleccionarse como un conjunto de intensidades sextupolares pequeñas y arbitrarias, y \(x_0\) inicialmente debe ser lo suficientemente pequeño como para contener una zona estable. Al aumentar \(x_0\), la optimización produce nuevos conjuntos de sextupolos con zonas estables más grandes.

El proceso de optimización se inició con un \(x_0\) pequeño ya que los efectos no lineales producidos por los sextupolos son pequeños. Dentro del proceso de optimización, a medida que \(x_0\) crece, el algoritmo busca que las trayectorias en el espacio de fases sean estables. En esta etapa, a partir del conjunto de sextupolos \(\{S_0\}\), se inicia la búsqueda de un conjunto de sextupolos que incremente la apertura dinámica anterior; aquí la amplitud de oscilación se toma como \(x_0=7\) mm. Esto se hace utilizando algoritmos genéticos45 que intentan minimizar la función objetivo \(f_{obj}\). Otros métodos, como el simplex de la función \(\hbox {MATLAB}^{\circledR}\) fminsearch y el recocido simulado, también podrían ser útiles. Este proceso se muestra en la Fig. 4, donde el eje vertical es el valor relativo de \(f_{obj}\) con respecto a su valor inicial \(f^{initial}_{obj}\). Es conveniente señalar que en el proceso de optimización de los sextupolos, el intervalo de valores de la función objetivo es (0.9859, 66.432). Sin embargo, en la figura 4 sólo se muestra el rango de interés (\(f_{obj}/{f^{initial}_{obj}}) < 1\), donde la función objetivo disminuye. La mejora aparentemente pequeña es debido a que el \(\{S_0\}\) inicial era un conjunto de sextupolos que ya daban un valor pequeño de la función objetivo. El eje horizontal es el tiempo de CPU acumulado (en segundos) del algoritmo genético en una PC Pentium7. El número de poblaciones involucradas en el cálculo fue 14 y el proceso convergió en alrededor de 1000 generaciones (Fig. 4).

Como se ha estudiado en detalle en la referencia26, las resonancias que aparecen en la Fig. 3 surgen cuando dos ramas de soluciones reales, de la cuasi-invariante (Ec. (9)) propuesta para el caso no lineal, se superponen convirtiéndose en soluciones complejas. Las regiones que no se superponen forman las islas de resonancias. Cuando se inicia el proceso de optimización, en busca de nuevos sextupolos que permitan aumentar la apertura dinámica, las mencionadas ramas de soluciones reales se ven afectadas debido al cambio numérico de los valores de \(\{S\}\). La minimización de la función \(f_{obj}\) (Ec. (21)) requiere que la rama interna de las soluciones reales esté cerca de la solución correspondiente del problema lineal (elipse). Este comportamiento ocurre cuando la dinámica del problema no lineal permite un aumento de la apertura dinámica; de lo contrario, las raíces se superponen generando resonancias que limitan la estabilidad.

Esta figura muestra el comportamiento de la función objetivo \(f_{obj}\) definida en la ecuación. (21) a medida que aumenta el número de iteraciones. El eje vertical representa el valor relativo de la función objetivo con respecto a su valor inicial \(f^{initial}_{obj}\), y el eje horizontal representa el tiempo de CPU acumulado (en segundos) a medida que avanzan las iteraciones.

La Figura 5 muestra el comportamiento de estas dos ramas de soluciones reales (en rojo), a medida que cambian los valores de S. La rama externa, contenida principalmente en el rectángulo verde, tiene un comportamiento más errático que la rama interna y, en general, la rama externa se separa de la interna bajo el proceso de optimización. Se espera que cuanto más alejada esté una solución polinómica del origen del espacio de fases, \(p_x\) tendrá un mayor grado de incertidumbre. La simulación de seguimiento de partículas mostrará la concordancia al comparar los resultados obtenidos con el método propuesto con la simulación, incluso para grandes amplitudes de oscilación, como se muestra más adelante. La elipse del problema lineal se utiliza como objetivo del método de optimización. Se puede observar que la rama interna de las soluciones reales tiende a acercarse a la curva azul que representa la trayectoria correspondiente al invariante de Courant-Snyder para el problema lineal27. Esto último se puede apreciar con mayor detalle en la Fig. 6 donde se puede ver una banda de soluciones reales en rojo junto a la elipse azul. Al final del proceso de optimización, la solución no lineal real, que es la más cercana a la solución lineal, es la que tiene un valor mínimo de \(f_{obj}\). Esto quedará más claro en la siguiente etapa de optimización.

Espacio de fase \((x,p_x)\) que muestra la evolución de las dos soluciones reales (en rojo), bajo el proceso de optimización de la función objetivo (cuando los valores de \(\{S\}\) cambian). La elipse, correspondiente al invariante de Courant-Snyder del problema lineal, se muestra en azul a modo de comparación; es el objetivo del método de optimización. Las líneas azules horizontales para \(p_x\) = 0 representan la parte real de \(p_x\), mientras que la parte imaginaria no se muestra en la figura, es decir, \(p_x\) es un número puramente imaginario. Las ramas exteriores están ubicadas principalmente en el rectángulo verde y corresponden a varios valores \(\{S\}\) para el invariante único utilizado en el proceso de optimización de la segunda etapa (sección III.E).

Espacio de fase \((x,p_x)\) que muestra las resonancias originales y, con mayor detalle que en la Fig. 5, el comportamiento de las raíces reales internas (en rojo) que intentan ajustarse a la elipse (azul) de la dinámica lineal, bajo el proceso de optimización de la función objetivo. Las unidades en la gráfica son m-rad.

El procedimiento anterior permite encontrar el valor de nuevos sextupolos \(\{S_1\}\) que minimizan \(f_{obj}\) como se muestra en la Fig. 4. Los nuevos valores de \(\{S\}\) son :

donde el orden de los valores \(\{S_1\}\) es el mismo que el utilizado en la ecuación. (24). Como antes, para cada elección libre de parámetros \(\{S_1\}_{free}\), se determinan dos sextupolos cromáticos \(\{S_1\}_{chrom}\) que permiten mantener las cromaticidades cercanas a cero. La siguiente sección aborda las implicaciones de un nuevo conjunto de sextupolos \(\{S_1\}\) en la dinámica no lineal descrita en el espacio de fases (\(x,p_x\)). Cuando se utiliza este conjunto de sextupolos, el espacio de fase de la Fig. 7 muestra que la región de estabilidad crece de \(\sim 2\) mm a \(\sim 6-7\) mm, ya que el inicio de resonancias de orden bajo ha sido inhibido en esa región.

Espacio de fase \((x,p_x)\) para varias amplitudes de oscilación \(x_0=1.53, 3, 4, 5, 6, 7\) mm. Con los nuevos sextupolos \(\{S_1\}\), obtenidos optimizando a \(x_0=7\) mm, se explora la apertura dinámica y se observa que aumenta a \(\sim 6-7\) mm , antes de que Tori comience a romperse. Para cada valor de la cuasiinvariante, la rama interior y su rama exterior correspondiente se trazan en el mismo color de escala de grises. Las unidades en la gráfica son m-rad.

Ahora estamos explorando la posibilidad de seguir haciendo crecer la zona de estabilidad con una nueva optimización de sextupolos. Esta etapa se realiza a una amplitud de oscilación mayor, \(x_0=10\) mm, tomando \(\{S_1\}\) como conjunto inicial de sextupolos para esta etapa del proceso de optimización, bajo los mismos lineamientos que la optimización anterior en \( x_0=7\) mm.

Las ramas interna y externa de las soluciones reales que dan un valor menor de la función objetivo \(f_{obj}\) se muestran en negro en la Fig. 8. Representan el resultado final de la optimización para el invariante correspondiente a \(x_0 =10\) milímetros. Dos de las ramas de las soluciones reales (ramas internas) están cercanas al invariante de Courant-Snyder representado por la elipse azul. Las otras dos ramas (ramas externas) ahora están alejadas de las internas, lo que significa que la posibilidad de generar resonancias de bajo orden, por superposición, ha sido disminuida por el proceso de optimización, aumentando de esta manera la zona de estabilidad debido a una mejor selección. del conjunto de sextupolos. Vemos que las ramas negras internas se asemejan a una elipse, como se solicita en la ecuación. (21) de \(f_{obj}\). El detalle de este comportamiento es más claro en la Fig. 9, donde se muestra en rojo un conjunto de soluciones intermedias del problema no lineal en el proceso de optimización. La solución negra es la mejor aproximación a la solución lineal en azul. El conjunto \(\{S_2\}\) de sextupolos obtenido al final de esta etapa es

Nuevamente, a modo de comparación, las curvas grises que se muestran en la Fig. 9 son las que se muestran en la Fig. 7 para la optimización \(\{S_1\}\).

Estructura del espacio de fases \((x,p_x)\) al final de la tercera etapa del proceso de optimización del conjunto de sextupolos. Las curvas negras se obtienen como las ramas de soluciones de raíces reales que dan un valor mínimo de \(f_{obj}\). A partir de los sextupolos \(\{S_1\}\), que habían optimizado la función objetivo \(f_{obj}\) con amplitud \(x_0=7\) mm, se formó un nuevo conjunto de sextupolos \(\{S_{ 2}\}\) se encuentra cuando se utiliza \(x_0=10\) mm. Con los nuevos sextupolos \(\{S_{2}\}\) (Ec. (27)), no hay resonancias de bajo orden ya que las ramas de la solución real han sido separadas por el proceso de optimización cuando se solicita que las ramas internas estén cerca. a la elipse de Courant-Snyder, en azul. La apertura dinámica supera ahora los 10 mm. Las unidades en la gráfica son m-rad.

Ampliación del espacio de fases \((x,p_x)\) de la Fig. 8 que representa con mayor detalle el conjunto de ramas internas (rojas) del problema no lineal. Se trata de soluciones intermedias en el proceso de optimización, de las que surgen los sextupolos que minimizan la función objetivo \(f_{obj}\). Con los nuevos sextupolos \(\{S_{2}\}\), obtenidos optimizando a 10 mm, vemos que la apertura dinámica estimada (negro) ha crecido más allá de 10 mm. La solución negra es la mejor aproximación a la elipse (azul) que representa la solución lineal, según el invariante de Courant-Snyder. Las curvas de tono gris muestran la estructura del espacio de fase subyacente (Fig. 7) antes de realizar la nueva optimización usando \(x_0=10\) mm.

El siguiente punto de interés a investigar es el aumento en la apertura dinámica logrado con la optimización \(\{S_2\}\). Para esto, se utilizan diferentes valores de amplitud de oscilación \(x_0\) que producen las trayectorias que se muestran en la Fig. 10. Notamos que las trayectorias cerradas comienzan a romperse alrededor de los 17 mm, aunque se han encontrado resultados provenientes del cuasi-invariante. sobreestimar la apertura dinámica en comparación con la obtenida mediante simulación de seguimiento26.

Estructura del espacio de fases \((x,p_x)\) que muestra la apertura dinámica estimada por el método cuasi-invariante, luego de la optimización en \(x_0=10\) mm, con el conjunto de sextupolos \(\{S_{2) }\}\). El método cuasi invariante predice la estabilidad para amplitudes del orden de 15 mm. Para fines de comparación, la estructura de resonancia (Fig. 3) proporcionada por el conjunto inicial \(\{S_0\}\) de sextupolos se incluye en negro.

¿Cómo se comparan los resultados teóricos obtenidos con cuasi-invariantes con los de la simulación de seguimiento de partículas proporcionada por OPA? Utilizando el conjunto de sextupolos \(\{S_2\}\) en OPA, se destaca la buena concordancia entre ambos esquemas. Esto se muestra en la Fig. 11, que representa el espacio de fase (\(x,p_x\)) para partículas con momento (\(\delta =0\)). En azul se muestran varias trayectorias calculadas con OPA, utilizando diferentes amplitudes. No se observan resonancias de bajo orden, que son un problema importante en las fuentes de luz de sincrotrón. La apertura dinámica mostrada en la Fig. 11, del orden de 15 mm, confirma que el método de cuasi-invariantes proporciona una buena predicción de la apertura dinámica. Para que esta concordancia sea perceptible, las curvas de la Fig. 10 están superpuestas en rojo tenue.

Estructura del espacio de fase \((x,p_x)\) según la simulación de seguimiento de partículas OPA (azul), que muestra una buena concordancia con la apertura dinámica obtenida con el método cuasi invariante (rojo tenue superpuesto, Fig. 10). Ambos cálculos se han realizado utilizando el conjunto de sextupolos \(\{S_2\}\) para partículas con momento (\(\delta =0\)).

Curiosamente, aunque este trabajo no incorpora el formalismo relacionado con las partículas fuera de momento \((\delta \ne 0)\), vemos que el espacio de fase correspondiente, en este caso proporcionado por la simulación de seguimiento de partículas con OPA, también parece siguen la inercia de una dinámica lineal, a la que las partículas con momento han sido forzadas con un pequeño valor de la función objetivo \(f_{obj}\). Es decir, existe un cierto grado de transmisibilidad de la estabilidad del espacio de fases considerado, al pasar de \(\delta =0\) a \(\delta \ne 0\). Este proceso se observa en las siguientes seis figuras (Figs. 12, 13, 14, 15, 16, 17), calculadas con el conjunto de sextupolos \(\{S_2\}\), para una desviación de momento \(\delta = -3,- 2,-1,1,2\) y \(3 \%\). Esto es sorprendente porque no se realizó ninguna optimización que involucrara la desviación del momento \(\delta \ne 0\).

El cambio de origen en las Figs. 12, 13, 14, 15, 16, 17 es consistente con el desplazamiento de la órbita cerrada sin momento dado por \(\eta \delta \) para un valor de \(\eta =0.2039\) m, que es el Valor de dispersión en las secciones rectas para nuestro modelo de juguete sincrotrón.

Estructura del espacio de fases \((x,p_x)\) para \(\delta =-1\%\) cuando se usan varias condiciones iniciales para la simulación de seguimiento de partículas en OPA, usando el conjunto de sextupolos \(\{S_2\} \).

Estructura del espacio de fases \((x,p_x)\) para \(\delta =-2\%\) cuando se usan varias condiciones iniciales para la simulación de seguimiento de partículas en OPA, usando el conjunto de sextupolos \(\{S_2\} \).

Estructura del espacio de fases \((x,p_x)\) para \(\delta =-3\%\) cuando se usan varias condiciones iniciales para la simulación de seguimiento de partículas en OPA, usando el conjunto de sextupolos \(\{S_2\} \).

Estructura del espacio de fases \((x,p_x)\) para \(\delta =1\%\) cuando se usan varias condiciones iniciales para la simulación de seguimiento de partículas en OPA, usando el conjunto de sextupolos \(\{S_2\}\ ).

Estructura del espacio de fases \((x,p_x)\) para \(\delta =2\%\) cuando se usan varias condiciones iniciales para la simulación de seguimiento de partículas en OPA, usando el conjunto de sextupolos \(\{S_2\}\ ).

Estructura del espacio de fases \((x,p_x)\) para \(\delta =3\%\) cuando se usan varias condiciones iniciales para la simulación de seguimiento de partículas en OPA, usando el conjunto de sextupolos \(\{S_2\}\ ).

En secciones anteriores, los resultados del área del espacio de fase se obtuvieron mediante optimizaciones utilizando la cuasi-invariante definida en la ecuación. (9), realizada a valores de amplitud \(x_0=7\) y 10 mm. Lo que se está explorando ahora es la posibilidad de aumentar aún más el valor de \(x_0\). Se realiza una nueva optimización en \(x_0=12\) mm y se muestra que el aumento de apertura dinámica es insignificante, indicando que la dinámica no lineal del sincrotrón considerado no permite un mayor aumento de apertura dinámica, y/ o la descripción del cuasi-invariante es menos exacta (el grado del polinomio considerado no es lo suficientemente grande) a medida que aumentan las amplitudes \(x_0\). En la Fig. 18 se muestra este proceso. La optimización a 10 mm de la Fig. 11 se muestra en azul tenue, mientras que el proceso de optimización obtiene un nuevo cálculo (azul oscuro, superpuesto) utilizando una amplitud de 12 mm. La figura 11 se obtuvo con el conjunto de sextupolos \(\{S_2\}\), mientras que esta figura azul oscuro está hecha con el nuevo conjunto de sextupolos \(\{S_3\}\), mostrado en la Ec. (28), ambos, para partículas con momento (\(\delta =0\)). Comparando ambos resultados, se observa que la cadena de islas exteriores de orden superior (azul tenue) está inhibida. Aparecen nuevos tori KAM, expandiendo marginalmente el área estable del espacio de fase. Es interesante observar que la nueva selección \(\{S_3\}\) difiere menos de \(<2\%\) de \(\{S_2\}\) lo que representa un ajuste fino de las intensidades sextupolares. El efecto es significativamente menor que el obtenido pasando de 7 a 10 mm. Esto sugiere que se está alcanzando el límite de optimización.

Estructura del espacio de fases \((x,p_x)\) según la simulación de seguimiento de partículas de OPA (azul oscuro) realizada con el conjunto \(\{S_3\}\) de sextupolos obtenidos para una optimización de amplitud de 12 mm. En azul tenue (fondo) se muestra la optimización a 10 mm de la Fig. 11. En el nuevo cálculo (azul oscuro) hay un ligero aumento en el área del espacio de fase. Ambas estructuras (azul oscuro y tenue) en el espacio de fase son para partículas con momento (\(\delta = 0\)).

Para un sincrotrón representado en una dimensión, los resultados obtenidos son una clara indicación de la robustez del concepto cuasi-invariante y su uso para aumentar la apertura dinámica del sincrotrón, solicitando que las topologías del espacio de fase de un sistema lineal y no lineal sean similares. en un área delimitada de pequeñas amplitudes de oscilación. El formalismo matemático de esta idea se puede extender a dimensiones superiores para lograr diseños de baja emitancia.

Aunque no se analiza en este artículo, también cabe destacar que los estudios que utilizan cuasi-invariantes informan una gran dispersión de la sintonía dependiente de la amplitud20. Por lo tanto, se espera que con nuestra técnica, las líneas de resonancia, probablemente de órdenes superiores, puedan cruzarse sin efectos perceptibles debido a sus estrechos anchos de banda de parada.

Este trabajo ha sido motivado por los crecientes requisitos en la optimización de las redes magnéticas de las fuentes de luz sincrotrón para satisfacer las crecientes necesidades de los usuarios de radiación sincrotrón, como un mayor brillo y coherencia. Los métodos desarrollados por otros autores han sido fundamentales para abordar el problema no lineal, algunos de ellos implican una gran capacidad de recursos computacionales. En este trabajo, se muestra que el esquema basado en un polinomio cuasi-invariante es una técnica de optimización de apertura dinámica complementaria a métodos que utilizan términos resonantes o simulación de seguimiento de partículas de muchas vueltas9. La precisión lograda con los cuasi-invariantes es suficiente para lograr una apertura dinámica compatible con los resultados del seguimiento numérico. Con estas ideas, introducimos y exploramos un mecanismo más útil para encontrar soluciones que permitan avanzar en la comprensión de los procesos dinámicos en sincrotrones. El algoritmo propuesto requiere la construcción de un cuasi-invariante de movimiento cuyo uso sea válido en un área de espacio de fase restringido incluyendo su origen, donde el haz de electrones debe ser estable. Se estudiaron un mecanismo cuasi invariante y una función objetivo que permite manipular el inicio de las resonancias y, por tanto, aumentar la apertura dinámica de un diseño de sincrotrón particular. En la región de estabilidad, la semejanza entre la topología del espacio de fase de un sistema no lineal y la del sistema lineal parece ser clave para lograr buenos resultados en el aumento de la apertura dinámica. Los resultados obtenidos se validaron comparándolos con simulaciones de seguimiento de partículas, utilizando software disponible en el campo de la física de aceleradores. Los resultados numéricos indican que el método propuesto puede usarse como un esquema adecuado para aumentar la apertura dinámica en el modelo unidimensional estudiado. La metodología se puede extender fácilmente a dos dimensiones mediante la construcción de un segundo cuasi-invariante, lo que permite aumentar la apertura dinámica del problema no lineal bidimensional, un fenómeno que es bastante restrictivo en fuentes de luz de cuarta generación. Se está trabajando en esta dirección.

Los datos generados o analizados durante el presente estudio están disponibles del autor correspondiente previa solicitud razonable.

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Este trabajo contó con el apoyo de la UNAM-PAPIIT IN108522 y el CONACYT CF-2023-I-119. EAS agradece al CONACYT por financiar una beca postdoctoral.

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Alain Flores

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Matías Moreno

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EAS, AF, JH-C., MM y AA conceptualizaron esta investigación, analizaron e interpretaron los resultados, escribieron códigos de computadora, prepararon figuras y escribieron y revisaron el manuscrito.

Correspondence to Armando Antillón.

Los autores declaran no tener conflictos de intereses.

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Sánchez, EA, Flores, A., Hernández-Cobos, J. et al. Aumento de la zona de estabilidad del haz en fuentes de luz de sincrotrón utilizando cuasi-invariantes polinomiales. Informe científico 13, 1335 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-27732-y

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Recibido: 24 de julio de 2022

Aceptado: 06 de enero de 2023

Publicado: 24 de enero de 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-27732-y

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